Selasa, 13 Desember 2011

Selasa, 14 Juni 2011 - Konjektur Henri Poincare diajukan pada tahun 1904, adalah salah satu konjektur paling tua dan paling dasar dalam bidang topologi, yang kadang disebut geometri lembar karet, studi matematika terhadap permukaan dan bentuk dengan semua kemungkinan puntiran, belokan, dan dimensi.

Ia menyarankan cara mengetahui benda geometri yang sulit dibayangkan yang memiliki dimensi lebih dari tiga. Ia mengajarkan matematikawan bagaimana mempelajari bola berdimensi tinggi, bahkan bila ia telah dilontarkan atau diubah bentuk seperti karet.

Walaupun Poincare menduga kalau ujinya bekerja, ia tidak dapat membuktikannya dan tidak seorang pun bisa. Tahun 1980an, Richard Hamilton mengajukan aliran Ricci, sebuah alat matematika yang dapat diterapkan pada bentuk abstrak dan menghaluskannya.
“Beliau mengembangkan teori aliran Ricci kurang lebih dari coret-coret semata,” kata Jim Carlson. “Sejak awal ia sudah memiliki gagasan indah persamaan jenis apa yang dapat mengatur perubahan suatu bentuk. Ia meneruskannya untuk membuktikan keseluruhannya dalam hasil yang fantastis.”
Namun, walau usaha kerasnya, konjektur Poincare tetap tak terjamah. Gagasan aliran Ricci tidak bekerja pada setiap kasus yang mungkin ada, hingga Gregory Perelman muncul dan memberikan buktinya.
Matematikawan Grigory (Grisha) Perelman memposting buktinya di situs arXiv.org dalam tiga bagian tahun 2002 dan 2003. Tahun 2006, setelah matematikawan lain telah membuktikan kebenaran bukti yang ia berikan, ia dihadiahi medali Fields, salah satu penghargaan tertinggi dalam matematika. Ia menolaknya, dengan mengatakan kalau ia bukan satu-satunya yang berhak mendapatkan kredit atas bukti tersebut.
Juli tahun lalu, Perelman juga menolak hadiah satu juta dollar yang diberikan Insititut Clay karena membuktikan konjektur Poincare. Pada saat perayaan di Clay, ia memberi tahu kantor berita Rusia, Interfax, kalau masyarakat matematika tidak adil dan kalau ia tidak menyukai keputusan mereka. Richard Hamilton, katanya, berhak mendapatkan kredit yang sama atas bukti yang ia berikan.
“Solusi dari konjektur Poincare adalah langkah besar maju dalam topologi dan geometri yang kita sekarang tahu yang dimungkinkan oleh gagasan Hamilton,” kata Jim Carlson, presiden Institut Matematika Clay di Cambridge, Massachusets. “Perelman harus dipandang sebagai orang yang mencapai impian yang dimiliki Hamilton.”
Yayasan Shaw Prize di Hongkong awal bulan Juni 2011 ini mengumumkan kalau ia akan membagi hadiah satu juta dollar tahunannya dalam ilmu matematika, separuh pada Richard Hamilton di Universitas Columbia New York, yang menciptakan proses geometri yang berada dibalik bukti yang diberikan Perelman pada konjektur Poincare. Separuhnya lagi diberikan pada Demetrios Christodoulou, dari Insititut Teknologi Federeal Swiss di Zurich atas penelitiannya pada fisika lubang hitam dan relativitas umum.
Sumber
Ornes, S. 2011. $500,000 for Mathematician who laid Poincare groundwork. New Scientists, 10 June 2011.
Pembuktian Konjektur Poincare oleh Perelman

Perelman, Grisha (11 November 2002). The entropy formula for the Ricci flow and its geometric applications. arXiv:math.DG/0211159.
Perelman, Grisha (10 March 2003). Ricci flow with surgery on three-manifolds. arXiv:math.DG/0303109.
Perelman, Grisha (17 July 2003). Finite extinction time for the solutions to the Ricci flow on certain three-manifolds. arXiv:math.DG/0307245.

Probabilitas Menemukan Bilangan 19

Selasa, 22 November 2011 - Sebuah alat favorit para pemuja bilangan 19 adalah menambahkan hal-hal tertentu sehingga membuat kelipatan 19 ketika kombinasi yang dibuatnya tidak bekerja. Sebagai contoh, jika nomer surah dan nomer ayat tidak memiliki nomor 19, mungkin jumlahnya bisa. Khalifa sering melakukan hal ini, bahkan menambahkan tiga unsur bila perlu, sebagai contoh nomor ayat + jumlah kata + jumlah huruf. Ia tetap menghitungnya memiliki probabilitas 1/19, namun tentu saja ini salah

Sebuah alat favorit para pemuja bilangan 19 adalah menambahkan hal-hal tertentu sehingga membuat kelipatan 19 ketika kombinasi yang dibuatnya tidak bekerja. Sebagai contoh, jika nomer surah dan nomer ayat tidak memiliki nomor 19, mungkin jumlahnya bisa. Khalifa sering melakukan hal ini, bahkan menambahkan tiga unsur bila perlu, sebagai contoh nomor ayat + jumlah kata + jumlah huruf. Ia tetap menghitungnya memiliki probabilitas 1/19, namun tentu saja ini salah

Anggap anda memiliki N bilangan dan anda ingin menemukan kelipatan 19 dengan menambahkannya. Berapa kemungkinan untuk sukses? Perhitungan berikut sedikit kasar, namun menunjukkannya hingga N = 5;

N Kemungkinan menemukan 19
1 5.3%
2 15.2%
3 32.8%
4 59.2%
5 86.4%
Jadi, misalnya, bila anda memiliki nomor surat, nomor ayat, jumlah kata, jumlah huruf, dan nilai gematrik ayat tertentu, ada kemungkinan 86.4% anda mendapatkan kelipatan 19 dengan menambahkannya. Anda sangat kurang beruntung jika gagal.

Dari mana probabilitas di atas muncul? Pertimbangkan N=2:

A = peristiwa bilangan pertama adalah kelipatan 19,

B = peristiwa bilangan kedua adalah kelipatan 19,

C = A + B = jumlah kedua bilangan kelipatan 19.

Bila dua (atau tiga) merupakan kelipatan 19, begitu juga yang lain.

Tulis P(x) untuk Prob(x kelipatan 19) dst.

P(A atau B atau C) = P(A) + P(B) + P(C)

- P(A dan B) – P(A dan C) – P(B dan C)

+ P(A dan B dan C)

Masing-masing P(A), P(B), P(C) adalah 1/19, dan tiap yang lain adalah 1/19^2.

Jadi jawabannya adalah 3/19 – 3/19^2 + 1/19^2 = 3/19 – 2/19^2.

Metode lain yang lebih mudah: Temukan probabilitas kalau tidak ada kelipatan 19. Untuk A, kemungkinannya adalah 18/19. Dengan A, pilihan untuk B adalah 17/19: satu 1/19 hilang untuk memastikan B bukanlah kelipatan 19, dan 1/19 lain lenyap untuk memastikan A+B bukan kelipatan 19. Dua kasus ini tidak bertindihan karena pada kasus ini, A bukan kelipatan 19.

Untuk kasus N=3, bisa dilakukan pula dengan manual, namun sulit. Untuk N=4, anda perlu membuat program komputer untuk menghitungnya.

Ilham, matematika murni dan terapan, dan estetika

Sir Isaac Newton (1643-1727), seorang
 
penemu kalkulus infinitesimal.

Matematika muncul pada saat dihadapinya masalah-masalah yang rumit yang melibatkan kuantitas, struktur, ruang, atau perubahan. Mulanya masalah-masalah itu dijumpai di dalam perdagangan, pengukuran tanah, dan kemudian astronomi; kini, semua ilmu pengetahuan menganjurkan masalah-masalah yang dikaji oleh para matematikawan, dan banyak masalah yang muncul di dalam matematika itu sendiri. Misalnya, seorang fisikawan Richard Feynman menemukan rumus integral lintasan mekanika kuantum menggunakan paduan nalar matematika dan wawasan fisika, dan teori dawai masa kini, teori ilmiah yang masih berkembang yang berupaya membersatukan empat gaya dasar alami, terus saja mengilhami matematika baru.[13] Beberapa matematika hanya bersesuaian di dalam wilayah yang mengilhaminya, dan diterapkan untuk memecahkan masalah lanjutan di wilayah itu. Tetapi seringkali matematika diilhami oleh bukti-bukti di satu wilayah ternyata bermanfaat juga di banyak wilayah lainnya, dan menggabungkan persediaan umum konsep-konsep matematika. Fakta yang menakjubkan bahwa matematika "paling murni" sering beralih menjadi memiliki terapan praktis adalah apa yang Eugene Wigner memanggilnya sebagai "Ketidakefektifan Matematika tak ternalar di dalam Ilmu Pengetahuan Alam".[14]
Seperti di sebagian besar wilayah pengkajian, ledakan pengetahuan di zaman ilmiah telah mengarah pada pengkhususan di dalam matematika. Satu perbedaan utama adalah di antara matematika murni dan matematika terapan: sebagian besar matematikawan memusatkan penelitian mereka hanya pada satu wilayah ini, dan kadang-kadang pilihan ini dibuat sedini perkuliahan program sarjana mereka. Beberapa wilayah matematika terapan telah digabungkan dengan tradisi-tradisi yang bersesuaian di luar matematika dan menjadi disiplin yang memiliki hak tersendiri, termasuk statistika, riset operasi, dan ilmu komputer.
Mereka yang berminat kepada matematika seringkali menjumpai suatu aspek estetika tertentu di banyak matematika. Banyak matematikawan berbicara tentang keanggunan matematika, estetika yang tersirat, dan keindahan dari dalamnya. Kesederhanaan dan keumumannya dihargai. Terdapat keindahan di dalam kesederhanaan dan keanggunan bukti yang diberikan, semisal bukti Euclid yakni bahwa terdapat tak-terhingga banyaknya bilangan prima, dan di dalam metode numerik yang anggun bahwa perhitungan laju, yakni transformasi Fourier cepat. G. H. Hardy di dalam A Mathematician's Apology mengungkapkan keyakinan bahwa penganggapan estetika ini, di dalamnya sendiri, cukup untuk mendukung pengkajian matematika murni.[15] Para matematikawan sering bekerja keras menemukan bukti teorema yang anggun secara khusus, pencarian Paul Erdős sering berkutat pada sejenis pencarian akar dari "Alkitab" di mana Tuhan telah menuliskan bukti-bukti kesukaannya.[16][17] Kepopularan matematika rekreasi adalah isyarat lain bahwa kegembiraan banyak dijumpai ketika seseorang mampu memecahkan soal-soal matematika.

Topik dalam matematika

daftar bahasan dalam matematika dan subklasifikasinya dapat dilihat dalam daftar alfabet.

Daftar topik dan sub klasifikasi dibawah ini merupakan gambaran matematika secara umum.

Kuantitas
Pada dasarnya, topik dan ide ini menyajikan ukuran jelas dari bilangan atau kumpulan, atau jalan untuk menemukan semacam ukuran.

Bilangan – Bilangan dasar – Pi – Bilangan bulat – Bilangan rasional – Bilangan riil – Bilangan kompleks – Bilangan hiperkompleks – Quaternion – Oktonion – Sedenion – Bilangan hiperriil – Bilangan surreal – Bilangan urutan – Bilangan pokok – Bilangan P-adic – Rangkaian bilangan bulat – Konstanta matematika – Nama bilangan – Ketakterbatasan – Dasar – Sudut Jarum Jam

Perubahan
Topik-topik berikut memberi cara untuk mengukur perubahan dalam fungsi matematika, dan perubahan antar angka.

Aritmetika – Kalkulus – Kalkulus vektor – Analisis – Persamaan diferensial – Sistem dinamis dan teori chaos – Daftar fungsi

Struktur
Cabang berikut mengukur besar dan simetri angka, dan berbagai konstruk.

Aljabar abstrak – Teori bilangan – Geometri aljabar – Teori grup – Monoid – Analisis – Topologi – Aljabar linear – Teori grafik – Aljabar universal – Teori kategori – Teori urutan

Ruang
Topik-topik berikut mengukur pendekatan visual kepada matematika dari topik lainnya.

Topologi – Geometri – Trigonometri – Geometri Aljabar – Geometri turunan – Topologi turunan – Topologi aljabar – Algebra linear – Geometri fraktal

Matematika diskrit
Topik dalam matematika diskrit berhadapan dengan cabang matematika dengan objek yang dapat mengambil harga tertentu dan terpisah.

Kombinasi – Teori himpunan naif – Kemungkinan – Teori komputasi – Matematika terbatas – Kriptografi – Teori Gambar – Teori permainan

Matematika terapan
Bidang-bidang dalam matematika terapan menggunakan pengetahuan matematika untuk mengatasi masalah dunia nyata.

Mekanika – Analisa Numerik – Optimisasi – Probabilitas – Statistik – Matematika Finansial (keuangan) – Metoda Numerik

Konjektur dan teori-teori yang terkenal
Teorema-teorema itu telah menarik matematikawan dan dan yang bukan matematikawan.

Teori terakhir Fermat – Konjektur Goldbach – Konjektur Utama Kembar – Teorema ketidaklengkapan Gödel – Konjektur Poincaré – Argumen diagonal Cantor – Teorema empat warna – Lema Zorn – Identitas Euler – Konjektur Scholz – Tesis Church-Turing


Teori dan konjektur penting
Di bawah ini adalah teori dan konjektur yang telah mengubah wajah matematika sepanjang sejarah.

Hipotesis Riemann – Hipotesis Continuum – P=NP – Teori Pythagorean – Central limit theorem – Teordi dasar kalkulus – Teori dasar aljabar – Teori dasar aritmetik – Teori dasar geometri proyektif – klasifikasi teorema permukaan – Teori Gauss-Bonnet

Dasar dan metode
Topik yang membahas pendekatan ke matematika dan pengaruh cara matematikawan mempelajari subyek mereka.

Filsafat matematika – Intuisionisme matematika – Konstruktivisme matematika – Dasar matematika – Teori pasti – Logika simbol – Teori model – Teori kategori – Logika – Matematika kebalikan – Daftar simbol matematika

Sejarah dunia para matematikawan
Sejarah matematika – Garis waktu matematika – Matematikawan – Medali bidang – Hadiah Abel – Masalah Hadiah Milenium (Hadiah Matematika Clay) – International Mathematical Union – Pertandingan matematika – Pemikiran lateral – Kemampuan matematika dan masalah gender

Matematika dan bidang lainnya
Matematika dan arsitektur – Matematika dan pendidikan – Matematika skala musik

Kejadian Kebetulan Matematika
Daftar Kejadian Kebetulan Matematika

Peralatan Matematika
Dulu:

  • Abacus
  • Tulang Napier, Jangka sorong
  • Penggaris dan Kompas
  • Perhitungan biasa

Sekarang:

  • Kalkulator dan komputer
  • Bahasa pemrograman
  • Sistem komputer aljabar (listing)
  • Notasi sederhana Internet
  • Analisis statistik software
  • SPSS
  • SAS
  • R

Apa Itu Matematika??

Apakah matematika?

Pengertian matematika sangat sulit didefinsikan secara akurat. Pada umumnya orang awam hanya akrab dengan satu cabang matematika elementer yang disebut aritmatika atau ilmu hitung yang secara informal dapat didefinisikan sebagai ilmu tentang berbagai bilangan yang bisa langsung diperoleh dari bilangan-bilangan bulat 0, 1, -1, 2, – 2, …, dst, melalui beberapa operasi dasar: tambah, kurang, kali dan bagi.

Matematika sebagai Raja dan sekaligus Pelayan
Ada pendapat terkenal yang memandang matematika sebagai pelayan dan sekaligus raja dari ilmu-ilmu lain. Sebagai pelayan, matematika adalah ilmu dasar yang mendasari dan melayani berbagai ilmu pengetahuan lain. Sejak masa sebelum masehi, misalnya jaman Mesir kuno, cabang tertua dan termudah dari matematika (aritmetika) sudah digunakan untuk membuat piramida, digunakan untuk menentukan waktu turun hujan, dsb.

Sebagai raja, perkembangan matematika tak tergantung pada ilmu-ilmu lain. Banyak cabang matematika yang dulu biasa disebut matematika murni, dikembangkan oleh beberapa matematikawan yang mencintai dan belajar matematika hanya sebagai hoby tanpa memperdulikan fungsi dan manfaatnya untuk ilmu-ilmu lain. Dengan perkembangan teknologi, banyak cabang-cabang matematika murni yang ternyata kemudian hari bisa diterapkan dalam berbagai ilmu pengetahuan dan teknologi mutakhir.

Apakah matematika ilmu yang ‘sulit’?
Secara umum, semakin kompleks suatu fenomena, semakin kompleks pula alat (dalam hal ini jenis matematika) yang melalui berbagai perumusan (model matematikanya) diharapkan mampu untuk mendapatkan atau sekedar mendekati solusi eksak seakurat-akuratnya.

Jadi tingkat kesulitan suatu jenis atau cabang matematika bukan disebabkan oleh jenis atau cabang matematika itu sendiri, tetapi disebabkan oleh sulit dan kompleksnya fenomena yang solusinya diusahakan dicari atau didekati oleh perumusan (model matematikanya) dengan menggunakan jenis atau cabang matematika tersebut.

Sebaliknya berbagai fenomena fisik yg mudah di amati, misalnya jumlah penduduk di seluruh Indonesia, tak memerlukan jenis atau cabang matematika yang canggih. Kemampuan aritmetika sudah cukup untuk mencari solusi (jumlah penduduk) dengan keakuratan yang cukup tinggi.

Matematika sebagai bahasa
Di manakah letak semua konsep-konsep matematika, misalnya letak bilangan 1? Banyak para pakar matematika, misalnya para pakar Teori Model (lihat model matematika) yg juga mendalami filosofi di balik konsep-konsep matematika bersepakat bahwa semua konsep-konsep matematika secara universal terdapat di dalam pikiran setiap manusia.

Jadi yang dipelajari dalam matematika adalah berbagai simbol dan ekspresi untuk mengkomunikasikannya. Misalnya orang Jawa secara lisan memberi simbol bilangan 3 dengan mengatakan “Telu”, sedangkan dalam bahasa Indonesia, bilangan tersebut disimbolkan melalui ucapan “Tiga”. Inilah sebabnya, banyak pakar mengkelompokkan matematika dalam kelompok bahasa, atau lebih umum lagi dalam kelompok (alat) komunikasi, bukan sains.

Dalam pandangan formalis, matematika adalah penelaahan struktur abstrak yang didefinisikan secara aksioma dengan menggunakan logika simbolik dan notasi matematika; ada pula pandangan lain, misalnya yang dibahas dalam filosofi matematika.

Struktur spesifik yang diselidiki oleh matematikawan sering kali berasal dari ilmu pengetahuan alam, dan sangat umum di fisika, tetapi matematikawan juga mendefinisikan dan menyelidiki struktur internal dalam matematika itu sendiri, misalnya, untuk menggeneralisasikan teori bagi beberapa sub-bidang, atau alat membantu untuk perhitungan biasa. Akhirnya, banyak matematikawan belajar bidang yang dilakukan mereka untuk sebab estetis saja, melihat ilmu pasti sebagai bentuk seni daripada sebagai ilmu praktis atau terapan.

Matematika tingkat lanjut digunakan sebagai alat untuk mempelajari berbagai fenomena fisik yg kompleks, khususnya berbagai fenomena alam yang teramati, agar pola struktur, perubahan, ruang dan sifat-sifat fenomena bisa didekati atau dinyatakan dalam sebuah bentuk perumusan yg sistematis dan penuh dengan berbagai konvensi, simbol dan notasi. Hasil perumusan yang menggambarkan prilaku atau proses fenomena fisik tersebut biasa disebut model matematika dari fenomena.

Jumat, 02 Desember 2011

permainan matematika

“Al, coba kamu tulis angka 681 di selembar kertas,” kata Paman APIQ.

Paman APIQ melipat kertas itu dan menyerahkannya kepada Meti,
“Meti, kamu genggam erat-erat kertas ini ya…!”

“Geo, kamu suka angka berapa saja? Tiga angka yang berurutan?” tanya Paman APIQ.

“567,” jawab Geo.

Jika kita balik menjadi 765. Kurangkan dengan angka semula.

765
567
—- -
198

“Meti, sekarang kamu buka kertas yang kamu genggam itu.”

Meti membuka dan melihat tulisan

861

seperti yang ditulis Al.

“Tolong putar sedikit….”

861 diputar berubah menjadi

198

“Lho, kok bisa?”

Mereka terheran-heran.

Itulah kehebatan angka 9 dan bilangan berurut.
Bagaimana menurut Anda?

Selasa, 03 Mei 2011

Analisis Kemampuan Proses (Capability Process)