TEORI GRUP

BAB I
GRUP
Operasi Biner
Misalkan S himpunan yang tidak kosong. Hasil kali Cartesian SxS adalah himpunan semua pasangan terurut (x,y) dengan x dan y di S dan dituliskan sebagai berikut :
SxS = {(x,y)|x,y di S}
Definisi 1.
Operasi biner pada himpunan tak kosong S adalah pemetaan dari SxS ke dalam S
Misalkan oerasi biner pada S dinotasikan dengan * maka diperoleh suatu pemetaan *:SxS menuju S. Untuk pasangan (a,b) di SxS, daerah hasil dari pemetaan ini disebut hasil operasi dan dinotasikan dengan a*b. Dengan demikian untuk setiap pasangan (a,b) di SxS didefinisikan oleh pengaitan (a,b) -> a*b
Definisi 2.
Misalkan G himpunan tak kosong dengan operasi biner * pada G, maka G disebut grup dan ditulis (G,*), jika memenuhi aksioma-aksioma berikut :
(i). Asosiatif, yaitu untuk semua a,b, dan c di G, berlaku :
(a*b)*c = a*(b*c)
(ii). Ada elemen identitas e di G sehingga untuk semua a di G berlaku :
a*e = e*a = a
(iii) ntuk setiap a di G mempunyai invers dalam G, yaitu terdapat elemen b di G sehingga berlaku :
a*b = b*a = e
Elemen b ini disebut invers dari a.
Jika (G,*) suatu grup yang memenuhi sifat komutatif, yaitu untuk semua a dan b di G berlaku a*b = b*a, maka (G,*) disebut grup komutatif atau grup abelian.
Jika (G,*) hanya memenuhi sifat asosiatif maka (G,*) disebut semigrup, sedangkan semigruop yang mempunyai elemen identitas disebut monoid.
Teorema 3.
Dalam suatu grup berlaku sifat kanselasi kiri maupun kanselasi kanan, yaitu jika G grup maka untuk semua a,b dan x di G berlaku bahwa :
(i) Jika ab = ac, maka b=c (Sifat kanselasi kiri)
(ii) Jika ba = ca, maka b=c (sifat kanselasi kanan)
Teorema 4.
Jika G suatu grup, maka suntuk semua a dan b di G, persamaan linear kiri ax = b dan persamaan linear kanan ya = b masing-masing mempunyai penyelesaian tunggal.
Teorema 5
Suatu grup G hanya memuat satu elemen identitas
Teorema 6
Setiap elemen di grup G mempunyai invers yang tunggal.
Definisi 7.
Misalkan H adalah subhimpunan dari G dengan H bukan himpunan kosong. Himpunan H disebut subgru dari G jika H dengan operasi yang sama pada G juga merupakan grup.
Definis 8
Misalkan G suatu gru dan a di G. Order dari a adalah satu bilangan bulat positif terkecil, misalkan n sehingga . Jika bilangan bulat positif n demikian tidak ada, maka order dari a adalah tak hingga. Sedangkan order dari grup G adalah banyaknya elemen dari G
Definisi 2.
Grup G disebut grup siklik jika ada sat leemen G, misalkan a di G sehingga untk setiap x di G berlaku untuk suatu bilangan bulat n.